Als Lösung der Wellengleichung für die Schallschnelle ergibt sich eine etwas komplexere Beziehung als für den Schalldruck. Ist man weit von der Schallquelle entfernt, so nimmt der Betrag der Schallschnelle genauso wie beim Schalldruck mit 1/r ab. Nahe an der Schallquelle nimmt die Schnelle aber nicht nur mit 1/r, sondern mit 1/r2 ab. Man unterscheidet je nach Verhalten der Schnelle zwischen Nahfeld (1/r2-Abnahme) und Fernfeld (Abnahme mit 1/r).
Herleitung
Man erhält als Lösung der Wellengleichung für den Betrag der Schnelle
r ist der Abstand zur Kugelschallquelle, λ ist die Wellenlänge des abgestrahlten Schalls
Der Betrag der Schallschnelle ist also sowohl von der Entfernung, als auch von der abgestrahlten Wellenlänge abhängig. Man erkennt, wenn man für r große Werte einsetzt, daß die Summe unter der Wurzel sehr nahe bei 1 liegt. Dies bedeutet, daß man für große Werte von r (d.h. große Abstände von der Schallquelle) die Beziehung
erhält, also die gleiche Abnahme wie beim Schalldruck. Setzt man für r allerdings sehr kleine Werte ein, so kann man die 1 der Summe unter der Wurzel vernachlässigen und erhält
Den Übergang zwischen Nahfeld und Fernfeld findet man, wenn der zweite Summand (λ/2πr)2 die gleiche Größenordnung hat wie der erste Summand, also ungefähr bei (λ/2πr)=1. Der Punkt des Übergangs ist also frequenzabhängig, oder anders ausgedrückt: die Ausdehnung des Nahfeldes ist abhängig von der abgestrahlten Wellenlänge.
Abbildung 2.2. Verlauf der Schallschnelle über dem Abstand r von der Schallquelle für zwei verschiedene Frequenzen
Bei tiefen Frequenzen muß man wesentlich weiter von der Schallquelle entfernt sein, um sich im Fernfeld zu befinden, als für höhere. Den Übergang von Nah- zu Fernfeld findet man, wie in der Herleitung erwähnt, im Abstand
Ein weiterer Unterschied zwischen Nah- und Fernfeld ist von Bedeutung. Im Fernfeld befinden sich Schalldruck und Schallschnelle in Phase, während sie im Nahfeld um bis zu 90° zueinander phasenverschoben sind.
Anmerkung
Für Mikrophone, die keine reinen Schalldruckempfänger sind, sondern auf die Schallschnelle ansprechen, ist das Wissen um Nah- und Fernfeld einer Schallquelle von Bedeutung. Schnelleempfänger liefern einerseits eine um 90° zu Druckempfängern verschobene Ausgangsspannung, andererseits erhält man bei solchen Mikrophonen im Nahfeld eine sehr starke Anhebung der tiefen Frequenzen. Dies wird Nahbesprechungseffekt genannt. Dazu in Abschnitt ?????? mehr.