Aufgabe: Wenn ein Intervall in eine bestimmte Richtung (aufwärts oder abwärts) durch das Frequenzverhältnis fv gegeben ist, wie ist das Frequenzverhältnis desselben Intervalls in entgegengesetzter Richtung?
Lösung: 1/fv
Aufgabe: Berechnen Sie die Frequenzen der Töne aus Abbildung 6.3, „ pythagoräische Stimmung “, wenn Sie für das a' die Frequenz 440 Hz zugrundelegen.
Lösung: 260.75 Hz, 293.3 Hz, 330.0 Hz, 347.7 Hz, 391.1 Hz, 440.0 Hz, 495.0 Hz, 521.5 Hz
Aufgabe: Berechnen Sie die Intervallverhältnisse der Töne in untenstehender Abbildung (immer bezogen auf den Anfangston) in
a) pythagoräischer Stimmung
b) reiner Stimmung
c) Was müssen Sie tun, wenn sie Frequenzen der Töne bei gegebener Frequenz des Ausgangstons von 293 Hz errechnen sollen?
Lösung:
a) 1, 27/16, 729/512, 243/128 3/2 27/16 4/3 16/9 1024/729
b) 1, 5/3, 25/18, 50/27, 40/27, 5/3, 4/3, 16/9, 64/45c) Es müssen die errechneten Intervallverhältnisse mit der Ausgangsfrequenz multipliziert werden, um die Frequenzen zu erhalten.
Aufgabe: Leiten Sie die Intervallverhältnisse für die geordnete diatonische Skala der Abbildung 6.3, „ pythagoräische Stimmung “ aus der Quintstimmung von Abbildung 6.4, „ chromatisch erweiterte pythagoräische Stimmung “ her, indem Sie die benachbarten Töne von Abbildung 3.3 in Abbildung 3.4 finden und anschliessend das Intervall zwischen beiden Tönen durch Abschreiten der Quint/Quartfolge rechnerisch zusammenfassen (Beispiel: c-d in Abbildung 3.3 ist die Folge c-g-d in Abbildung 3.4 => c-d = 3:2 * 3:4 = 9:8).
Aufgabe: Zeigen Sie unter Zuhilfenahme der Regeln für die Exponentialrechnung, daß die Multiplikation zweier Frequenzverhältnise fv1 und fv2 der Addition der entsprechenden Centwerte (x1 und x2) entsprechen.
Lösung:
Aufgabe: Berechnen Sie die Kommata, die sich aus dem Intervall zwischen 4 kleinen Terzen und der Oktave (große Diësis) und zwischen 3 großen Terzen und der Oktave (kleine Diësis) ergeben.
Lösung: ((6/5)^4):2 = 648/625, bzw. ((5/4)^3):2 = 125/128
Aufgabe: Zeigen Sie, daß das Intervall zwischen 4 reinen Quinten und dem 5. Partialton ein syntonisches Komma ist.
Lösung:
Die Frequenz eines Tons 4 Quinten über einem Ausgangston mit Frequenz f lautet (3/2)^4 * f = 81/16 * f
Die Frequenz des 5. Partialtons ist 5 * f
Das Intervall zwischen diesen beiden Tönen lautet also (81/16 * f) : (5 * f) = 81/(16*5) = 81/80.
oder kurz: (3/2)^4 : 5 = 3^4 : ((2^4) * 5) = 81 / (16*5) = 81/80
Aufgabe: Errechnen Sie aus der im Abschnitt über das Cent System gegebenen Formel für die Umrechnung eines Frequenzverhältnisses in Cent die gerundeten Centwerte für
a) das syntonische Komma (80/81).
b) das pythagoräische Komma (531441/524288).
c) die mitteltönige Quinte (5^1/4).
d) die reinen Intervalle große Sekunde, kleine Terz, große Terz, Quarte, Quinte, kleine Sexte, und große Sexte.
e) die ersten 16 Partialtöne, bezogen auf den Grundton.
Lösung:
a) 21 Cent
b) 23 Cent
c) 697 Cent
d) 204 Cent, 316 Cent, 386 Cent, 498 Cent, 702 Cent, 814 Cent, 884 Cent
e) 1: 0 Cent, 2: 1200 Cent, 3: 1902 Cent, 4: 2400 Cent, 5: 2786 Cent, 6: 3102 Cent, 7: 3369 Cent, 8: 3600 Cent, 9: 3804 Cent, 10: 3986 Cent, 11: 4151 Cent, 12: 4302 Cent, 13: 4441 Cent, 14: 4569 Cent, 15: 4688 Cent, 16: 4800 Cent
Aufgabe: Notieren Sie alle verwendbaren Dur- und Molldreiklänge (d.h. Dreiklänge ohne Wolfsterzen oder Wolfsquinte) der mitteltönigen Stimmung.
Lösung: